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z变换

2016-10-23 09:26:09 | 人围观 | 评论:

　　z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能，可以用拉氏变换的方法进行分析。与此相似，线性离散系统的性能可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，z变换又称采样拉氏变换，是研究离散系统的重要数学工具。
　　1. z变换的定义
　　引入一个新复变量
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
　　或　　　　　　　　 　　　　　(2)
　　从而有　
　　　　　　 (3)
　　称为离散时间函数的z变换。z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限
　　　　　　　　　　
　　存在时，的z变换才存在。
　　在z变换过程中，由于考虑的是连续时间函数f(t)经采样后的离散时间函数，或者说考虑的是在采样瞬间的采样值，所以上式只表示连续时间函数f(t)在采样时刻的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性。从这个意义上说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数具有相同的z变换，即
　　　　　　　　　　(4)
　　常用时间函数的z变换见表1。
　　　　　　　　　　　　　　　　表1 拉氏变换和z变换表

　　2. z变换的性质和定理
　　与拉氏变换相同，z变换有很多重要性质，可用于计算或直接分析离散控制系统，其中最常用的性质有：
　　(1) 线性性质
　　　　　　　　　　(5)
　　(2) 求和定理(又称叠值定理)
　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
　　(3) 平移定理
　　如果对于t0有f(t)=0 ，并且f(t)有z变换f(z)，则
　　　　　　　　　　　(7)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)
　　(4) 初值定理
　　如果f(t)有z变换F(z)，且极限存在，则f(t)或f(k)的初始值f(0)为
　　　　　　　　　　　　　　(9)
　　(5) 终值定理
　　　　　　　　　(10)
　　运用终值定理的条件是：当z≥1时，(z-1)F(z)对z的所有导数都存在。
　　(6) z变换的微分
　　　　　　　　　　　(11)
　　(7) z变换的积分
　　　　　　　　　(12)
　　(8) 卷积定理
　　设称为两序列f1(kt)和f2(kt)的卷积，用“*”表示。则
　　　　　　　　　　(13)
　　(9) 比例尺变化
　　　　　　　　　　　　　　(14)
　　3. 用z变换法解线性常系数差分方程
　　采用z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似。解的过程是先将差分方程经z变换后成为z的代数方程，然后求出未知序列的z表达式Y(z)，最后查z变换表或用其他方法求得y(k)。
　　〖例1〗用z变换法解下列差分方程
　　
　　初始条件为y(0)=0,y(1)=1。
　　解：对上式进行z变换得
　　
　　代入初始条件，并解得
　　
　　查表求逆z变换得
　　
　　可见，用z变换法解线性常系数差分方程时，关键在于求逆z变换。




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