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卫星的无摄运动

2016-10-21 15:08:57 | 人围观 | 评论:

   中心引力是匀质球体形成的理想的引力作用,因此无摄轨道的数字特征可以精确获得,该理想轨道是分析卫星运动的基础。

    一、开普勒定律

    (一)开普勒第一定律

    行星绕太阳运行轨道是一个椭圆,太阳位于该椭圆的一个焦点上。

    (二)开普勒第二定律

    行星围绕太阳运行时,行星与太阳的连线(向径),在相同的时间内扫过相同的面积。

    (三)开普勒第三定律

    行星绕太阳运行周期的平方,与其轨道长半径的立方成正比。

    二、无摄轨道的描述

    (一)开普勒轨道根数(Kepler orbital element)

    由开普勒定律可知,卫星无摄轨道是一个椭圆。描述椭圆的形状和大小,只需要椭圆长半轴as和偏心率es这两个参数既可。但这样的描述还不能唯一固定卫星轨道平面相对于地球本体的位置。所以,为了固定卫星轨道相对于地球的位置,我们还要引入另外四个个参数。这四个参数加上前面的as和es,一共6个参数,合称为开普勒轨道根数,也叫开普勒轨道参数。

    

    现将6个开普勒轨道根数的常用符号及含义介绍如下。

    as――轨道椭圆长半轴(Semi-major Axis)。

    es――轨道椭圆偏心率(eccentricity)。

    i――轨道面倾角(inclination of orbit)。即卫星轨道平面与赤道面的夹角。

    Ω――升交点赤经(right ascension of ascending node)。升交点是指卫星由南向北运行时,其轨道与赤道面的交点。

    ωs――近地点角距(argument of perigee)。即轨道平面上,升交点与近地点之间的地心夹角。

    τ0――卫星过近地点的时刻(Epoch of perigee passage)。

    这6个参数所构成的坐标系统,通常称为轨道坐标系(Elements of Coordinate System),用来描述卫星的运动。它们的大小取决于卫星的发射条件了。

    (二)真近点角的计算

    真近点角:轨道平面上,卫星与近地点之间的地心角距,可用v(t)表示。为了方便计算,需要引入两个辅助参数M(t)和E(t)。

    

    其中n表示卫星运动平均角速度,t表示任意观测历元。

    E(t)――偏近点角(eccentric anomaly)。

    偏近点角E(t)与真近点角v(t)的关系为

    三、卫星坐标的计算

    (一)二体问题微分方程

    如图所示,根据牛顿万有引力定律,在惯性坐标系中,卫星受到的引力为

    由于卫星质量相对地球为小,可以将式中(M+ms)忽略为M。由此可得卫星的加速度矢量为

    (二)卫星无摄运动瞬时坐标的计算

    计算卫星在任意观测历元,相对于地球坐标系的位置,可分三步:首先建立轨道直角坐标系,计算卫星在轨道直角坐标系中的位置;然后计算卫星在天球坐标系下的坐标;最后再将卫星的天球坐标转换为地球坐标系下的坐标。

    1.卫星在轨道直角坐标系中的位置

    如图3-6所示,取地球质心M为坐标原点,X0轴指向近地点P,Z0轴垂直于轨道平面,Y0轴在轨道面内垂直于X0轴构成右手系。在该坐标系中,卫星ms的坐标为(x0,y0,z0)T。

    

    根据图3-6所示,易知

    2.卫星在天球坐标系中的位置

    由公式(3-18)可以确定卫星在轨道平面上的位置,而卫星在天球坐标系中的位置,还需要轨道参数Ω、ωs和i。天球坐标系与轨道直角坐标系的原点都是地球质心,只是坐标轴指向不相同。为了使两个坐标系相一致,按照坐标系转换的有关理论,需要将坐标轴依次作如下旋转:

    ●轨道直角坐标系M-X0Y0Z0绕Z0轴旋转角度ωs,使得X0轴指向由升交点。

    ●旋转后再绕X0轴旋转角度i,使Z0轴与天球坐标系Z轴重合。

    ●再绕Z0轴旋转角度Ω,使X0轴与天球坐标系X轴重合。

    设(X,Y,Z)CS为卫星在天球坐标系中的坐标,则它们的转换关系为

    

    结合上式,可以确定卫星在任意观测历元下,在天球坐标系中的坐标。

    3.卫星在地球坐标系中的位置

    有了卫星的天球坐标,就可以根据天球坐标系与地球坐标系的关系,进一步计算卫星在地球坐标系中的位置。设(X,Y,Z)TS为卫星在地球坐标系中的坐标。则有

    一般说来,最后还需对(x,y,z)TS进行极移改正,将其转化为协议地球坐标系下的坐标(x,y,z)CTS。

    归纳起来,卫星无摄运动在轨位置的计算步骤依次为:

    ――计算平均角速度n;

    ――计算平近点角M(t);

    ――计算偏近点角E(t),利用开普勒方程;

    ――计算真近点角v(t);

    ――计算卫星地心向径r,利用无摄轨道方程;

    ――计算卫星在轨道直角坐标系中的位置;

    ――计算卫星在天球坐标系中的位置;

    ――计算卫星在地球坐标系中的位置;

    ――对卫星的地球坐标进行极移改正,将其转化为(x,y,z)CTS

    至此,卫星在任意观测历元t,在协议地球坐标系下的坐标就计算出来了。顺便指出,通过类似的步骤,也可以推导卫星无摄运行速度分量在协议地球坐标系中的表达式。





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